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1、2024北京清华附中高二（下）期中数    学（清华附中高22级）  2024.4第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，则集合的元素的个数为（    ）A.0B.1C.2D.32.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则等于（    ）A.2B.3C.4D.53.在复平面内，复数对应的点坐标为，则复数等于（    ）A.B.C.D.4.设，若，则的值为（    ）A.4B.

2、6C.7D.85.已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ）A.B.C.D.6.若，则，的大小关系为（    ）A.B.C.D.7.已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ）A.1B.2C.3D.48.已知的外接圆的半径为1，则的最大值为（    ）A.B.C.D.19.已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（    ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件10.已知

3、曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：曲线关于直线对称：当时，点不在直线上：当时，；当时，曲线所围成的区域的面积大于.其中所有正确结论的有（    ）A.B.C.D.第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为_.12.已知双曲线，其焦点到渐近线的距离是其焦距的倍，则双曲线的离心率为_.13.已知函数，若，使得，则正数的最小值为_.14.设，函数若，则_；若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_.15.训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧

4、密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，给出下列四个结论：当，若，时，该软件无法通过训练提高正确率；若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率：当，若，时，该软件经过5次训练后，正确率高于：当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，.（I）求的值；（II）以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确

5、的条件，并求：条件：；条件：；条件：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分.（17）（本小题13分）如图，在四棱锥中，和都是等边三角形，且.（I）求证：平面；（II）求平面与平面所成角的余弦值.（18）（本小题14分）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：（I）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，第6组.从样本中第1组和第2组中，任取2户，求他们月均用电量都不低于的概率；（II）从该地区全

6、体居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以样本的频率估计总体的概率，求的分布列和数学期望；（III）用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确，说明理由.（19）（本小题15分）已知椭圆过点，点是椭圆的右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，.（I）求椭圆的方程；（II）若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值.（20）（本小题15分）已知函数，其中.（I）判断曲线在处切线是否与轴平行；（II）求的单调区间；（III）若有两个极值点，设极大值点为，且，判断与2的大小关系，并说明理由.（21）（本小题15分）已知整数，集合，满足，对任意的，都有且.记.（I）若，写出两组满足条件的集合，并写出相应的；（II）证明：；

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