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1、第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 标准学术能力诊断性测试标准学术能力诊断性测试 2024 年年 12 月测试月测试 数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分分 一、一、单单项项选选择择题：本题共题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1 已知集合1,2,3,4,2,2PQ=，下列结论成立的是 AQP CPQQ=BPQP=D 2PQ=2 已知aR，i为虚数单位，若复数()()2iia+的实部与虚部相等，则a=A3 B2 C2 D3 3 已知()s
2、in2sinsin,tantan2+=，则()tan+=A43 B43 C2 D2 4 斜率为 1 的直线l经过()1,0点，且与抛物线24yx=交于,A B两点，则AB=A4 B4 2 C8 D8 2 5 已知()P A、()P B分别表示随机事件A、B发生的概率，则()1 P AB是下列哪个事件的概率 A事件A、B同时发生 B事件A、B至少有一个发生 C事件A、B都不发生 D事件A、B至多有一个发生 6 已知01a，设2log,log 4ama n=，则mn+的取值范围为 A(,2 B)2,0 C(0,2 D)2,+7 设()()23f xx x=，若方程()()f xk k=R有 3 个
3、不同的根,a b c，则abc的取值范围为 A()4,0 B()2,0 C()0,4 D()0,2 8 已知双曲线的左、右焦点为()()122,0,2,0FF，的一条渐近线为yx=，点P位于第一象限且在双曲线上，点M满足：121,FPMMPF MFMP=，则12MFMF+的最大值为 A2 6 B4 2 C210+D4 6 二、二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分在在每小题给出的四个选项中，有每小题给出的四个选项中，有多多项符合项符合题目要求题目要求全部选对得全部选对得 6 分，部分选对但不全得分，部分选对但不全得 3 分，分，有错
4、选的有错选的得得 0 分分.9 已知直线00:l x xy ym+=与圆22:1C xy+=，()00,P xy，则下列判断正确的是 A若点P在圆C上，且直线l与圆C相切，则1m=B若点P在圆C内，且1m=，则直线l与圆C相交 C若01,2my=，则直线l与圆C相交 D若0m=，则直线l截圆C所得弦长为 2 10我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等 九章算术中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是 A三棱台体不是“刍甍”B“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C存在有两个面为平行四边形的“刍甍”D“刍甍”存在两个互相平行的面 11已知等
5、差数列 n的公差为，cosnnb=，数列 nb的前n项和为nS，*nSS n=N，若存在1，使得,Sa b c=，则可能的取值为 A3 B2 C23 D 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F在BC上且2CFFB=，AF与DE交于点M，则cosDMF=13已知()sinf xx=，记函数()yf x=在闭区间I上的最大值为IM若正数k满足0,22kkkMM=，则k=14已知()()e,lnxf xax g xxax=，若对任意()10,x+，都存在()20,x+，使得()()121
6、2f x g xx x=，则实数a的取值范围为 MFEDCBA（第 12 题图）第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 四四、解答题：本题共、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）设等差数列 na的前n项和为nS，已知315S=（1）若17a=，求 na的通项公式；（2）若对于任意*nN，都有7nSS，求公差d的取值范围 16（15 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为棱PD的中点（1）设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF平面ABCD；（2）若PD 平面ABCD，2,60,2 2BCCDBCDPD=，求直线BE与平面PCD所成角的大小 17（15 分）某校高一学生共有 500 人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：平均作业时长n（单位：小时）)1,1.5)1.5,2)2,2.5)2.5,3)3,3.5 学业成绩优秀：90100m 1 14 37
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